COMPRENDAMOS

Casi tan obviamente como que dos y dos son cuatro, todos respondemos que los estados de la materia son tres: sólido, líquido y gas. Es un hecho de la vida claro como el agua. Pero si el agua sigue siendo H2O así se presente en forma de hielo o de vapor, ¿qué es lo que cambia y los hace aparecer tan distintos?

Una primera aclaración es que, técnicamente, es inadecuado llamar ``estados' a las presentaciones en que nos encontramos a los materiales: en su lugar, se llama ``estado' a cada una de las situaciones --combinaciones de las variables termodinámicas -- en que encontramos a los sistemas que estudiamos: la temperatura, la densidad, el campo magnético, son ejemplos de las variables que definen a dichos estados. En cambio, se habla de las ``fases' líquida, gaseosa y sólida de las sustancias. De esta manera, puede decirse que para ciertos estados el agua se presenta en fase líquida, para otros estados en fase sólida y que existen estados muy especiales en que se puede apreciar la coexistencia de una o más fases.

La idea de la naturaleza de las fases que la física nos ofrece pertenece a una forma de pensar que es una ruptura y al mismo tiempo una continuación de la tradición que considera que las propiedades de la materia se deben explicar en base a las propiedades de las partículas que la componen: átomos, electrones, quarks, etcétera. Por ejemplo, para el creador de la mecánica clásica --Isaac Newton-- estaba fuera de toda duda que la idea de la partícula elemental era la clave del estudio del mundo natural:

    ``La extensión, dureza, impenetrabilidad, movilidad y fuerza de inercia del Todo resulta de la extensión, dureza, impenetrabilidad, movilidad y fuerza de inercia de las Partes; así concluímos que las mínimas partículas de todos los cuerpos han de ser todas ellas extensas, duras e impenetrables, movibles y dotadas cada una con fuerzas de inercia propias. Y esto es el fundamento de toda filosofía.' [1]

Pero veamos en qué consiste esta ruptura y continuidad de la tradición.
Descendientes del caos y hielo

En los dos siglos posteriores a Newton, con el desarrollo de las teorías de la termodinámica y de la hidrodinámica bastaba con explicar las propiedades de la materia en términos operacionales a partir de unos cuantos principios básicos como la conservación de la energía, la masa y el momentum. Era suficiente considerar que un fluido como el agua o el aire era un ``continuo' al que se le podía calentar, deformar, empujar y escurrir de manera tal que habría de responder de esta y de aquella otra manera según la termodinámica o la hidrodinámica. Esta clase de teorías, llamadas fenomenológicas, son incompletas pues determinan condiciones muy generales que todas las sustancias deben de cumplir, pero al momento de referirse a una sustancia concreta ya no tienen poder predictivo a menos que se les suministre una serie de ecuaciones y parámetros específicos que se han de medir para cada material.

Tiempo después, el programa newtoniano para atribuir el origen de las propiedades macroscópicas de la materia a las propiedades microscópicas de las moléculas que la constituyen dió un gran paso al desarrollarse la teoría cinética de los gases. Ludwig Boltzmann, James C. Maxwell y otros consiguieron establecer una teoría que permitía ver la forma en que una gran acumulación de moléculas dispersas tiene todas las características de un gas ordinario (y viceversa). ¡Fué un éxito tremendo para unas moléculas que se concebían como bolas de billar en la época en que la mayoría de los científicos no creía en la existencia de los átomos! [2]

El nombre ``gas' proviene de la palabra griega que designa el caos: la teoría cinética de los gases supone que las moléculas de un gas son diminutos granos de materia que se mueven a grandes velocidades (mientras más caliente el gas, mayor la velocidad), que chocan con las paredes del recipiente que las contiene (generando una presión), y que lo hacen de una manera completamente aleatoria: sin orden, sin estructura. Desde este punto de vista, los gases son materiales bastante aburridos.

Para los científicos de principios del siglo XIX, el descubrimiento de que muchos sólidos están compuestos por cristales abrió las puertas de una gran investigación. Comenzaron por reconocer que la habilidad de los talladores para romper un cristal según planos distintivos y muy rectos era una consecuencia de la arquitectura de los materiales sólidos, que debían estar compuestos por bloques fundamentales cuya orientación derterminaba la orientación de los lados del cristal.

Dedujeron que todos los materiales cristalinos de la naturaleza podían clasificarse por sus propiedades de simetría geométrica en unas pocas ``familias' y, mediante el análisis microscópico, encontraron --para su sorpresa-- que casi todos los sólidos que conocían estaban formados por cristales. (De pasada, mencionaremos que ``cristal' proviene de una palabra griega que designa al hielo.)

La confirmación de que los cristales eran formidables redes regulares de átomos apilados llegó en el siglo XX cuando a Max von Laue se le ocurrió utlizar los rayos X para analizar la estructura de un sólido. Pensó que si tales rayos eran parecidos a la luz, pero con una longitud de onda mucho más pequeña, tal vez lograse observar la difracción que las redes de átomos del cristal producirían en un haz de rayos X. Tomó una serie de radiografías de cristales de sulfato de cobre y en cada una de ellas obtuvo el característico dibujo de manchas regulares que hoy conocemos como patrones de difracción. Posterioremente, los científicos William Henry Bragg y William Lawrence Bragg (padre e hijo, respectivamente) desarrollaron una forma para encontrar la correspondencia entre la estructura de los materiales y el patrón de difracción observado. La herencia de los Bragg, la técnica de difracción de rayos X, se volvió una herramienta poderosa para atisbar en la materia.
Radiografía de un líquido

Los patrones de difracción de rayos X están directamente relacionados con la distribución espacial de las partículas en el material que se radiografía (técnicamente hablando, a través de una transformada de Fourier). Del patrón de difracción se puede pasar a la función de distribución espacial y viceversa. La función de distribución espacial más sencilla es la función de distribución radial, g(r): es una medida de que tan probable es encontrar a un par de partículas del material a una distancia r. Consideremos ahora la forma de la función de distribución en un gas y en un sólido.

En el gas, las partículas están muy dispersas, en contínuo movimiento, y no se entera ninguna de ellas de la existencia de las otras. Consecuentemente, vagan uniformemente en todo el espacio que tienen disponible y la probabilidad de encontrar a las partículas en algún lugar es uniforme dentro del recipiente que las contienen, y como no se ven unas a otras, la probabilidad de encontrar a un par de ellas es la misma para cualquier distancia: la función g(r) = cte.

En un cristal ideal, los átomos están colocados según ciertas celdas elementales que se repiten infinitas veces. Al calcular la función de distribución radial, aquellas distancias que coinciden con las separaciones de ciertos átomos de la celda serán especialmente probables y en cambio aquellas que no coincidan con dichas distancias serán muy poco probables. Pero además, debido a la regularidad del cristal, se tendrá una función g(r) que tendrá picos estrechos separados regularmente por regiones de valles planos cercanos a cero. El orden de la red se manifiesta en la regularidad con la que aparecen los picos en la función de distribución radial.

¿Qué forma tiene la g(r) en un líquido? Si tomamos una radiografía al líquido y calculamos a partir de ella su función de distribución encontraremos todavía una alternancia entre máximos y mínimos pero que conforme aumenta la distancia de separación se va volviendo más plana y constante, pareciéndose cada vez más a la de un gas. Decimos por eso que un líquido es un material cuya estructura posee orden de corto alcance: a lo sumo unas cuantas moléculas. Esto es muy diferente del orden de largo alcance de un cristal, en el que el orden puede persistir a lo largo de muchos millones de átomos.

¿De dónde proviene este orden?
Moléculas y modelos

El origen de la estructura en los materiales reside en las fuerzas de interacción entre las moléculas que los conforman. Gracias a la mecánica estadística, es posible establecer que en muchos casos es la fuerza que se ejerce entre cada uno de los pares de moléculas del material la que determina dicha estructura. Sin embargo, existen dos dificultades: la primera es que casi nunca se sabe con certeza cuál es la fuerza de interacción ente las moléculas; la segunda, que los cálculos necesarios son extremadamente complicados como para realizarlos sin ayuda de una computadora.

Afortunadamente, el desarrollo de la computación digital a lo largo de este último medio siglo ha permitido disminuir la importancia de la segunda dificultad y además ha permitido realizar un curioso rodeo alrededor de la primera. Veamos: uno de los objetivos de estudiar los líquidos es tratar de predecir sus propiedades termodinámicas a partir del conocimiento de sus fuerzas de interacción molecular y viceversa. Para ello, se han de realizar muchas aproximaciones dentro del marco de la mecánica estadística. Esas aproximaciones, que en muchos casos caen dentro de la teoría de perturbaciones, van constituyendo diversas teorías de líquidos. Para probar que tan adecuadas son estas aproximaciones --y las teorías a que dan lugar-- se necesita contrastarlas con alguna evidencia empírica. Sin embargo, al momento de interpretar la evidencia experimental se encontrará que es necesario realizar también algunas hipótesis adicionales y una de las más importantes es precisamente la de cual pueda ser la forma de la fuerza intermolecular. Surge entonces el problema: Ante una discrepancia entre las predicciones de una teoría que supone cierta interacción molecular y los resultados experimentales para una sustancia, ¿estamos ante una teoría defectuosa o ante una suposición equivocada de la fuerza entre las moléculas?

El rodeo de la dificultad estriba en utilizar diversos modelos sencillos de la fuerza intermolecular y de simular en una computadora sus interacciones. Así se elimina la ignorancia del potencial molecular a la hora de contrastar los resultados de las simulaciones con los resultados de las teorías de líquidos. Una vez probadas, se pueden utilizar a las teorías más exitosas en las comparaciones con los resultados experimentales.

El resultado más notable de este proceder ha sido el descubrimiento de que basta con utilizar un modelo muy simple de interacción molecular para que aparezca la estructura característica de un líquido en las simulaciones por computadora: es suficiente con imaginar a las moléculas como esferas rígidas, como si se tratase de bolas de billar. Es más: el modelo molecular de esferas duras incluso posee una transición de fase sólido-líquido.

¿Cómo se interpretan estos resultados cuando sabemos que las moléculas no son esferas duras?

Una gráfica muy esquemática de la fuerza de interacción entre dos moléculas ordinarias mostrará que a cortas distancias (del orden del ``diámetro' de las moléculas) la fuerza es principalmente repulsiva y que es sólo a distancias mayores cuando las moléculas se sienten atraídas entre sí. Pues bien, lo que nos dice el éxito del modelo de esferas duras es que la estructura de un líquido está principalmente determinada por la forma de las fuerzas repulsivas de corto alcance.

Por supuesto, el modelo de esferas duras es muy burdo para fines de realizar predicciones cuantitivas. Sin embargo, se ha utilizado con éxito la teoría de perturbaciones de la siguiente manera: se parte de un sistema bien conocido y se considera que el material que se quiere estudiar se parece en alguna medida a dicho sistema, que la diferencia es una ``perturbación' pequeña en algún sentido. A continuación se establece la manera en que las desviaciones de las propiedades del sistema bajo estudio dependen de la intensidad de la ``perturbación' y se calculan dichas desviaciones hasta que se pueda alcanzar la precisión requerida en cada problema particular. Obviamente, el modelo de esferas duras es un buen candidato para representar el papel del sistema no perturbado alrededor del cual se trabaja.

Para terminar, es necesario volver sobre el tema del origen de las propiedades de los materiales extensos. Hemos visto que la mecánica estadística continúa la tradición que busca explicar a éstas por medio de las caracterísiticas de las partículas que componen a los materiales, pero al mismo tiempo rompe con tal idea al mostrar que las propiedades macroscópicas también se deben a la estructura precisa que dichas partículas forman. No diríamos que las propiedades de un líquido se siguen inmediatamente de las propiedades intrínsecas de cada partícula, más bien diríamos que dichas propiedades son características de la manera en que las partículas se agregan entre sí, que son un fenómeno de muchos cuerpos.

Por supuesto, queda mucho por decir acerca del orden y el desorden en la teoría de líquidos, hablando de mezclas, de cristales líquidos, de superfluidos cuánticos y hasta de vidrios [3], pero eso será en alguna otra ocasión.