COMPRENDAMOS

1. Introducción

Medir. La distancia entre dos ciudades, el tamañoo de un edificio, la velocidad de un pájaro, el peso de una molécula, la temperatura del centro de la tierra, la probabilidad de que llueva mañana... La necesidad de medir es inherente al ser humano y a la civilización, y se remonta incluso a tiempos prehist´oricos, y posiblemente hasta el origen mismo del homo sapiens. En matemáticas, de acuerdo a la teoría de la medida, medir conjuntos significa asignar un número (una medida) a cada conjunto de forma que: (a) El conjunto vacío tiene medida igual a cero. (b) Todo conjunto tiene medida no negativa. (c) Si A1, A2, A3,…es una colección de conjuntos disjuntos a pares (es decir, que cualesquiera dos de ellos no tienen elementos en común), la medida de su unión es igual a la suma de sus medidas. Lo anterior, describe lo que podemos entender a nivel de la intuición lo que significa "medir cosas"; la primera propiedad nos deice que "la nada no mide nada", mientras que la tercera nos dice que "el todo debe medir lo mismo que la suma de sus partes".

A diferencia de las otras dos, la segunda de estas tres propiedades resulta en realidad prescindible; en ocasiones se permite en la definición que las medidas tomen valores negativos (o incluso complejos). El pedir que la medida sea no negativa, corresponde con muchas situaciones de medición de la vida real; por ejemplo para medir áreas, volúmenes, lapsos de tiempo, pesos.

Hay otros casos, como cuando se miden cargas eléctricas, en los que el valor de la medida puede tener signos positivos o negativos. Las abstracciones más exitosas en la historia de las matemáticas – y la teoría de la medida es una de ellas – no han surgido de afanes gratuitos por generalizar, sino como recursos novedosos para resolver problemas considerados de importancia para los cuales las teorías preexistentes no ofrecían soluciones adecuadas. La teoría de la medida es muy general, y tiene profundas conexiones con las más diversas ramas de las matemáticas puras y aplicadas. Una muestra muy matemática rigurosa de la teoría de probabilidad, propuesta por Andrey Kolmogorov en [Kol] en 1929. Sería en extremo extenso hacer un recuento de las áreas en las que la teoría de la medida (y la integral de Lebesgue, que fue la semilla de la que surgió) ha impactado y de las que se ha retroaliomentado; por citar algunos otros ejemplos relevantes, mencionamos al análisis armónico, las ecuaciones diferenciales parciales, el análisis funcional, la mecánica cuántica, la tomografía computarizada, los fractales, los sistemas dinámicos, las finanzas matemáticas y la geometría diferencial.

2. De la Luna a la Tierra, midiendo el Tiempo y el Espacio

 Al hablar de medir, hay dos tramas sobresalientes desde el punto de vista histórico. La primerade estas cuestiones, es la historia de la medición del tiempo; el organizar los días y las noches mediante calendarios, y el dividir el día en secciones de tiempo con el uso de relojes. La segunda es la medición del mundo y el espacio en el que vivimos, es decir el calcular las dimensiones del planeta Tierra, y yendo más allá, la medición del Cosmos. En su gran mayoría, los calendarios más antiguos que se conocen, se basaron en los ciclos lunares. Esto repercute en que los términos latinos mensura y mensis ("medida" y "mes"), as´i como los griegos metron y mene ("medir" y "luna") provienen todos de la misma raíz indoeuropea. De la misma raíz, provienen palabras como mes, menstruación, metro, medir; y palabras inglesas como measure, moon, month, meter, menstrual. Numerosos ejemplos de ese tipo pueden encontrarse en muchos otros idiomas indoeuropeos, tanto vigentes como extintos.

¿Qué tan antiguo es el uso de la luna para medir el tiempo? No se sabe con exactitud, pero ciertamente es muy antiguo, y se remonta a la Era Paleolítica. En el año de 1973 fue desenterrado en las montañas de Lebombo, situadas en la frontera de Sudán y Swazilandia, el fósil de un peroné de babuino de 35 mil años de antigüedad; en ese hueso, pueden distinguirse con claridad 29 muescas talladas.

¿Es el Hueso de Lebombo un calendario lunar primitivo? No es seguro, pero el número 29 resulta más que sugerente. El ciclo lunar dura en promedio 29 días y medio, por lo que doce meses lunares suman 354 días, y trece duran 383 días y medio; está claro que no es sencillo hacer cuadrar eso con el año solar de 365 días y fracción, así que un calendario lunar está predestinado a fracasar miserablemente si se quiere usar para predecir las estaciones.

Esta situación originó que, alrededor del mundo y en casi todas las culturas que tomaron a la luna como su primer reloj, a los calendarios se les fueron agregando meses y días, a partir de criterios de lo más variados (y en muchas ocasiones, demasiado complicados e irregulares); así, nacieron los calendarios llamados lunisolares, de los cuales existen muchos ejemplos, algunos de los cuales (como el chino y el hebreo) se siguen usando hasta nuestros días, especialmente en conexión a festividades religiosas. Dos civilizaciones que excepciones a la regla de medir el tiempo con la luna fueron la de los egipcios y la de los mayas, quienes usaron calendarios solares.

El calendario civil de los mayas, el haab, consistía de dieciocho meses de veinte días (ver Figura 1), más cinco días sin mes (a los que consideraban peligrosos o de mala suerte). Los egipcios usaban ya el calendario solar más de tres milenios antes de su implantación en Europa, derivada en buena parte por los devaneos de Cleopatra VII y Cayo Julio César; en honor de este último, este calendario se conoce como el calendario Juliano. El año de ese calendario dura en promedio 365.25 días; si bien es muy bueno, avanza once minutos más rápido que el año solar. Hubo que compensar el tiempo perdido, y un edicto papal promulgado por Gregorio XIII en 1582 quitó al calendario Juliano los diez días que había avanzado hasta entonces, y estableció una nueva regla para los años bisiestos.

El Calendario Gregoriano, se ha convertido en el calendario civil usado por casi todo el mundo. Sin embargo, los ciclos solares no son relojes del todo precisos; de entrada, la duración del año solar varía dependiendo de los puntos de referencia que se consideren para medir una vuelta alrededor del sol: los años equinocciales, sideral y tropical no duran lo mismo; aún más, aunque se fije un punto de referencia, la precisión de los ciclos solares es menor que la del el reloj atómico de cesio que determina el "tiempo mundial" desde 1967.

La precisión de este reloj atómico, hace que deba ser ajustado de tanto en tanto, agregando segundos según se vaya requiriendo, para mantenerlo en sintonía con nuestros tiempos mundanos, regidos por el sol [Dun]. Un gnomon es un instrumento que consiste en una varilla colocada verticalmente sobre el suelo, de forma que proyecta su sombra sobre el mismo (ver Figura 2); este instrumento tan simple, aunado a la observación paciente y metódica, sirve de brújula, reloj, y calendario.

Eratóstenes de Alejandría , con el uso de este sencillo artefacto y una enorme dosis de ingenio, logró estimar el tamaño de la Tierra unos doscientos años antes de Cristo; no hay acuerdo sobre la precisión de las mediciones de Eratóstenes, debido a discrepancias sobre la unidad de medida que usó (un estadio); de cualquier forma, en el peor de los casos el error cometido fue de solo un 17%, aunque tal vez fuera mucho menor. Para lograr tal hazaña Eratóstenes no requirió de viajar alrededor del mundo; fue suficiente ir de Alejandría hacia el sur, unos ochocientos kilómetros, a la ciudad de Siena (hoy Asuán) situada en el Trópico de Cáncer [Oss]. El trabajo de Eratóstenes es muy significativo desde varios puntos de vista; es una muestra de que la razón permite realizar mediciones de forma indirecta, sin la necesidad de tener acceso al objeto de medición. Esto es un paradigma en la ciencia, en especial cuando se trata de medir lo muy pequeño o lo muy grande; los más impresionantes gnomons de nuestra época (microscopios electrónicos, telescopios milimétricos, aceleradores de partículas) palidecen al ponerlos al lado de las cosas que son capaces de medir; tanto como el humilde gnomon de Eratóstenes ante el tamaño de la Tierra. Figura 2. Gnomon

3. Área, Volúmen, Integral

La Teoría de la Medida surgió a partir del concepto matemático de integral,y más en concreto de la integral conocida como integral de Lebesgue; a su vez, el estudio de la integral tiene sus raíces históricas en ancestrales en métodos para medir longitudes, áreas y volúmenes de figuras geométricas. El planteamiento de estos problemas de medición ha estado presente – con diferentes grados de profundidad y sofisticación – en tal vez todas las civilizaciones de la historia. Un papiro egipcio de cerca de cuatro mil antigüedad (el Papiro de Moscú), contiene jeroglíficos con indicaciones para aproximar el área de un círculo, y para calcular el volumen de una pirámide truncada. Un procedimiento para medir áreas y volúmenes que tiene una gran trascendencía histórica es el conocido como método de exhaución; la idea de este método es sencilla: aproximar el área (o el volumen) de una figura rellenándolas de otras más simples, de las cuales se conoce su área. Ejemplos típicos consisten en calcular áreas de círculos, elipses, y otras figuras "curvas", aproximándolas por polígonos (Figura 3). Figura 3: Método de exhaución. Aproximación de una sección cónica por triángulos. Complementario al método de exhaución es el método de compresión, donde en vez de rellenar la figura, se le cubre por figuras más simples. Arquímedes (287 –212 AC), combinó ambos métodos para dar una prueba muy elegante de que el área de una circunferencia "es igual a la mitad del producto del radio por la longitud de la circunferencia"; ese es solamente uno de los muchos resultados monumentales, para ´areas y volúmenes, que Arquímedes hizo de estos métodos (en [Hea] pueden consultarse muchos de esos resultados).

Los matemáticos chinos Liu Hui (s.III) y Zu Chong (s.V) dieron las mejores aproximaciones de pi (") en su tiempo; para ello usaron el método de exhaución y cálculos muy extensos. Alhazen Ibn al Haytham (965 -1040), haciendo estudios de óptica, usó el método de exhaución en tres dimensiones para calcular el volumen de la región acotada por un paraboloide. Análogo al método de exhausión es el proceso de rectificación que consiste en aproximar la longitud de una curva aproximándola por segmentos de recta. El uso de este método llevó a los matemáticos de la escuela de Kerala (estado del sur de la India, donde se desarrollaron muchas de las matemáticas "premodernas" más avanzadas) a considerar sumas infinitas (series). Uno de los más notables de entre los matemáticos de Kerala, fue Madhava de Sangamagrama; entre otras hazañas sorprendentes, expresó al número " como la suma infinita que se conoce como serie de Leibniz, en honor al muy célebre matemático y filósofo alemán Godfried Leibniz, quien redescubrió el mismo resultado doscientos años más tarde. Figure 4: Representación gráfica de la integral de una función.

Principia Mathematica de Isaac Newton. Un paso gigantesco en cuanto a los métodos para calcular áreas y volúmenes, fue el que significó el desarrollo del cálculo diferencial e integral en el siglo XVII. En particular, el Teorema Fundamental del Cálculo significó una formidable herramienta para calcular el área de una infinidad de figuras, mediante sencillos algoritmos. La idea de integral que llevó al descubrimiento del teorema fundamental, no es más que una variante de los métodos de exhaución y compresión; en vez de los triángulos de la Grecia clásica, o de otros polígonos, se usan rectángulos cada vez más y más delgados para aproximar el área bajo una curva (ver Figura 4). La integral, como fue entendida por Leibniz, era la representaci´on del area bajo una curva expresada como una suma infinita de áreas de rectángulos de altura f (x) y base "infinitamente delgada" dx; esta interpretación se refleja en la notación de Leibniz usada hasta la actualidad. A partir de entonces, la evolución del cálculo fue impetuosa, estando muchas veces motivada por el sinfín de aplicaciones que surgieron (sobre todo en física y astronomía). En la primera mitad del siglo XIX aparecieron las primeras formulaciones matemáticamente rigurosas del cálculo; y en un artículo póstumo [Rie], Bernhard Riemann definió la integral que lleva su nombre, es la integral que se estudia hasta hoy en los libros y cursos de cálculo integral. Al inicio del siglo XX, el joven matemático francés Henri Lebesgue propuso una definición de integral que extendía a la definición de Riemann; esta integral apareció en su tesis doctoral [Leb], considerada una de las tesis "más finas jamás escritas por un matemático" [Bur]. La integral propuesta, conocida como la integral de Lebesgue, gozó de una gran aceptaci´on de forma casi inmediata, convirtiéndose muy pronto en la integral más usada y estudiada entre los matemáticos, y mantiene hasta ahora esa condición privilegiada, más de un siglo después de haber sido introducida.

En una primera instancia, el éxito de esta integral no se debio tanto al hecho de que permitía integrar funciones demasiado patológicas para la integral de Riemann (lo que por si solo le hubiera dado el carácter de algo así como una simple curiosidad teórica); de mucha mayor importancia, fue el hecho de que la integral de Lebesgue resultó ser una formidable herramienta para resolver de forma simple, clara y elegante ciertos importantes problemas teóricos que resultaban muy complicados al usar la definición integral de Riemann. Entre estos problemas, destacan los "teoremas de Fubini", término genérico usado en referencia a diversos criterios para establecer la validez de integrar iteradamente integrales múltiples; si bien se conocían criterios de ese tipo, válidos para la integral de Riemann, sus formulaciones eran todas en extremo complicadas y poco prácticas.

También son de enorme importancia los llamados teoremas de convergencia, que permiten "meter y sacar" límites dentro y fuera del signo de integral, que resolvieron importantes cuestionamientos acerca de la convergencia de series de funciones y de la integración de las mismas; estos son problemas cruciales en el estudio de las representaciones de funciones por series trigonométricas, ampliamente estudiado a partir de los trabajos – que en aquel tiempo eran ya considerados clásicos – de Joseph Fourier sobre la transmisón del calor. La diferencia fundamental entre las definiciones de integral de Lebesgue y de Riemann es la siguiente: en la integral de Riemann se aproxima el área bajo la curva particionando el dominio de la función, en la integral de Lebesgue lo que se particiona es el rango de valores que toma la función. De esto resulta que, mientras que en la integral de Riemann el área se aproxima con rectángulos usuales (cuyas bases son siempre segmentos de recta); en cambio, en la integral de Lebesgue las bases de los "rectángulos" correspondientes pueden en principio ser cualquier subconjunto de números reales. La situación descrita hace necesario para definir la integral de Lebesgue, el tener una forma de medir subconjuntos arbitrarios de números reales; de esta forma, Lebesgue tuvo que idear una forma de medir conjuntos generales de números reales, la medida de Lebesgue, que fue la motivación original para la creación de la teoría de la medida. Cabe aclarar que, en realidad, los conjuntos que se miden no son del todo arbitrarios; de hecho, son más numerosos los conjuntos que no se pueden medir que los que sí, con la medida de Lebesgue. Esto no causa dificultad alguna en la práctica, ya que los conjuntos no medibles son muy extraños.

Ya en la segunda mitad del siglo XIX, muchos matemáticos (Stolz, Harnack, Weierstrass, Peano, Jordan, Borel, y otros) habían abordado el problema de medir subconjuntos de la recta, del plano, y del espacio, proponiendo diversas definiciones; en muchos casos, esas investigaciones estaban ligadas al estudio de la integral ([Haw]). El concepto de "conjunto medible" apareció de forma natural en trabajos de Camille Jordan y de Guisseppe Peano; al considerar conjuntos irregulares del plano, se preguntaron cuales de ellos tenían área (es decir, podían medirse), lo que es una condición necesaria para construir integrales sobre ellos. Los trabajos de Jordan y Peano influyeron de forma decisiva en Emile Borel (quien fuera el director de la tesis de Lebesgue) y del mismo Lebesgue [Haw, Kup]. Una diferencia crucial en las medidas propuestas por Borel y por Lebesgue con respecto a las anteriores, fue la idea de medir los conjuntos aproximando no con colecciones finitas de conjuntos simples, sino permitiendo colecciones numerables infinitas (una especie de método de exhausión inifito). El primero en considerar cubiertas numerables fue Axel Harnack [Har]; pero, aparentemente Harnack se mostró renuente a aceptar esa forma de medir, ya que encontraba paradójica la consecuencia de que el conjunto de los números racionales tuviera medida cero. Eso puede parecer un paso un tanto obvio, pero hay que tomar en cuenta que la teoría de los ordinales infinitos era reciente, y su aceptación general no había sido del todo inmediata.

Otro de los éxitos de la integral de Lebesgue son los espacios de Lebesgue que fueron originalmente definidos por F. Riesz; ello es una piedra angular en el análisis funcional, y – entre muchas otras cosas – constituye un elemento fundamental en el sustento matemático de la mecánica cuántica y otras ramas de la física [RSi]. Finalmente, la forma en que se construye la integral de Lebesgue, permitió que fuera generalizada sin gran dificultad a la teoría de la medida, lo que significó otro gran triunfo. El artículo de Johann Radon [Rad], se considera el primer gran eslabón hacia la generalización ( [Bog, Haw]); la teoría de la medida como tal,en toda su abstracción, fue introducida por M. Frechet [Fre], solamente dos años más tarde.

Otros matemáticos que contribuyeron de forma importante en el desarrollo inicial de la teoría fueron Carathéodory, Hahn, Lusin, Nikodym y Sierpinski, por nombrar a algunos de los más sobresalientes [Bog]. Como se mencionó en la introducción, la teoría de la medida se convirtió en una teoría matemática de gran trascendencia.