Aleph-Zero
Revista de Educación y Divulgación de la Ciencia, Tecnología e Innovación

Divulgadores

Un Poco Más Sobre La Teoría Del Caos Y Los Fractales

Joan Josep Solaz-Portolés Departament de Didàctica de les Ciències Experimentals i Socials. Universitat de València. España. Contacto

En un artículo publicado en esta revista en 1997 por el profesor Cuauhtemoc Pacheco ya se abordó el tema del caos y los fractales. Con el presente artículo se pretende dar una visión complementaria a la que se dio en dicho artículo en su mo-mento. Se amplían conceptos y se intenta clarificar las relaciones entre ellos con la finalidad de aumentar la inteligibilidad de los razonamientos e ideas para, de este modo, dar a conocer el estado ontológico de la teoría del caos y sus consecuencias.
LOS INICIOS
En los años sesenta del siglo pasado el meteorólogo del MIT Edward Lorenz desarrolló un modelo de tres ecuaciones diferenciales ordinarias para describir el movimiento de un fluido bajo la acción de un gradiente térmico y a la hora de encontrar soluciones numéricas con ayuda de un ordenador. Se encontró con el fenómeno de la dependencia sensi-ble a las condiciones iniciales. Es decir, el sistema era inherentemente impredecible, de tal modo que pe-queñas variaciones en la fijación de las condiciones iniciales llevaban a soluciones muy diferentes.

Una forma de referirse al fenómeno anterior, que se ha hecho muy po-pular, es el término efecto mariposa, que proviene del título de la confe-rencia pronunciada por Edward Lorenz en la 139º reunión de la Sociedad Americana para el Avance de la Ciencia: “¿Puede el aleteo de una mariposa en Brasil desencade-nar un tornado en Texas?”, con el que se quería dar énfasis a la depen-dencia extrema de las condiciones iniciales.
Por su parte, Ruelle y Takens en un trabajo sobre la turbulencia, llega-ron a una conclusión conceptual-mente equivalente a la de Lorentz: un sistema agitado por movimientos en los que sólo existen tres frecuen-cias independientes puede desesta-bilizarse, convirtiéndose sus movi-mientos en irregulares y erráticos.
Los estudios presentados pusieron de manifiesto que sistemas reales con un número pequeño de varia-bles independientes podían generar comportamientos caóticos. Se co-menzó a hablar del caos determinis-ta, una verdadera revolución con-ceptual que desencadenó una ava-lancha de investigaciones en diver-sas áreas de conocimiento: física, astronomía, química y biología. No obstante, los verdaderos iniciadores de esta revolución fueron los físicos Poincaré, Hadamard, Maxwell y Arnold quienes llegaron a establecer resultados relevantes para ciertos sistemas dinámicos. Actualmente, se habla ya de una teoría que ha sido rigurosamente contrastada: la teoría del caos.
¿QUÉ ES LA TEORÍA DEL CAOS?
La teoría del caos puede definirse como el campo de estudio de la conducta de los sistemas dinámicos y no-lineales. Un sistema dinámico
puede ser representado mediante un modelo matemático que describe su variación en el tiempo. En dicho modelo matemático suelen apare-cen ecuaciones diferenciales. En los sistemas no-lineales no hay relación sencilla entre causa y efecto. Un cambio en una de las variables pue-de afectar el valor de otra de mane-ra tal que diverja radicalmente de lo que sería predecible.
Sistemas deterministas son los que obedecen las leyes de la física clásica u otras construidas siguiendo el mismo principio. Así, en mecánica clásica, una vez conocida la ley que gobierna el sistema y su estado presente, queda fijada la solución. Esto es, conocemos el estado de movimiento para cualquier valor del tiempo. Dicho de otro modo, tanto el futuro como el pasado quedan determinados por el presente. Un ejemplo de esto es el movimiento de los planetas, cuya evolución pode-mos determinar con un error des-preciable. Por ello, se identifica determinismo con la capacidad de predecir el futuro a partir únicamen-te de los datos actuales.
En un principio, se tendía a asociar determinismo con sistemas de po-cos grados de libertad (los grados de libertad son las variables necesarias para describir un sistema), como un planeta en movimiento, y probabilis-mo con los de muchos grados de libertad, como un volumen de deter-minado de aire. Se sabe desde hace tiempo que en los sistemas con un número grande de grados libertad (los grados de libertad son las varia-bles necesarias para describir un sistema) aparece un comportamien-to caótico.
Sin embargo, se ha comprobado que el comportamiento caótico aparece en diversidad de ocasiones, incluso
en sistemas de pocos grados de libertad. En estos casos, la solución del problema depende extremada-mente de la condiciones iniciales. Partiendo de condiciones muy simi-lares, el sistema acaba efectuando movimientos prácticamente inde-pendientes. El error en la predicción es necesariamente mucho mayor que el error en la medida inicial, al contrario que en el movimiento de los planetas, en que ambos errores son del mismo orden de magnitud. Un ejemplo de comportamiento caótico se presenta en un sistema mecánico muy simple formado por dos péndulos no lineales que se acoplan por medio de imanes per-manentes (uno de ellos ligero y que pueda girar completamente alrede-dor de su eje, y el otro de mayor masa y que también puede girar alrededor de su eje) ofrecen un espectáculo sorprendente. El péndu-lo masivo oscila normalmente, pero el ligero describe movimientos im-previsibles, caóticos.
Esto tiene importantes consecuen-cias en diversos campos de la cien-cia. Así, la teoría del caos se ha con-vertido en la tercera gran revolución de la física del siglo XX, junto con la teoría de la relatividad y la teoría cuántica. Además, la aplicación de dicha teoría está produciendo resul-tados interesantes en muchos pro-blemas relacionados con las ciencias de la vida, tales como las oscilacio-nes metabólicas, el ritmo cardíaco, la actividad cerebral y la dinámica de las poblaciones.
UNA EXPLICACIÓN DE FENÓMENOS CAÓTICOS EN LA NATURALEZA
Vamos a analizar uno de los siste-mas más simples cuyo comporta-miento puede volverse caótico: el péndulo. Para este sistema se pue-de dar una representación gráfica de su dinámica que consiste en propor-cionar la sucesión de velocidades angulares de la lenteja en función de su ángulo con la vertical en todo instante.

En ausencia de rozamiento, el sistema oscila indefinidamente y en la representación gráfica mencionada aparece una curva cerrada (también llamada trayectoria dinámica del sistema): una elipse. Sin embargo, es mucho más realista analizar el péndulo con rozamien-to, es decir, un sistema disipativo. En este caso, todas las trayectorias dinámicas posibles con-vergen hacia un punto fijo: velocidad angular y ángulo nulos. Si mantuviéramos las oscilacio-nes del péndulo real mediante la compensa-ción de los efectos del amortiguamiento (en este caso, la energía disipada por el rozamiento queda compensada por un aporte externo de energía), todas las trayectorias dinámicas posi-bles convergen hacia una única denominada ciclo límite (en este caso, una elipse también).
Las trayectorias dinámicas de las que estamos hablando se sitúan en un espacio matemático que se denomina espacio de las fases. Aunque abstracto, este espacio contiene en forma geométrica una información concreta. El espa-cio de las fases de un péndulo (o de un oscila-dor armónico en general) es un plano cuyas coordenadas son q (posición o ángulo) y p (momento o velocidad). Estas magnitudes tienen que ser independientes para que cada una de ellas aporte su propia información. La dimensión del espacio de las fases (dos para el sistema estudiado) es igual al número de gra-dos de libertad del sistema, que desempeña un papel primordial en la aparición y caracteriza-ción de los componentes caóticos. En este espacio, tanto el punto fijo como el ciclo límite reciben el nombre de atractor: ambos atraen hacia ellos todas las trayectorias dinámicas posibles.
Cuando nuestro sistema tiene tres dimensio-nes, como sucede en un péndulo sometido además de la fuerza de la gravedad a una fuer-za exterior periódica, el correspondiente espa-cio de las fases se debe construir a partir de las dos variables ya consideradas, a las que añadi-remos una variable asociada a la fuerza perió-dica exterior. Será, por tanto, un espacio de las fases de tres dimensiones y la trayectoria diná-mica obtenida se parece a un solenoide arrolla-do a la superficie de un toro.
El comportamiento de los sistemas estudiados hasta el momento es predecible, en conse-cuencia, conociendo su estado en un instante dado es posible determinarlo en cualquier tiempo posterior. En el espacio de las fases esto significaría que dos trayectorias dinámicas vecinas en un instante dado seguirán siéndolo siempre. Sin embargo, un sistema cuya evolu-ción es impredecible dos trayectorias dinámi-cas próximas se separan, se vuelven absoluta-mente diferentes y sin ningún tipo de relación. Esto sería, por ejemplo, lo que les ocurre a dos hojas dejadas juntas en el mismo instante en el torrente de un río. Esta propiedad del sistema se denomina sensibilidad a las condiciones iniciales. A los sistemas que tienen esta propie-
dad se les asigna el nombre de caóticos.
La estructura que caracteriza a los atractores de los sistemas caóticos tiene dos tendencias antagónicas. Por una parte debe atraer las trayectorias dinámicas hacia el atractor, ten-dencia ésta ligada a su carácter disipativo; y por otra parte, debe hacer diverger las trayectorias dinámicas, tendencia procedente de la sensibi-lidad a las condiciones iniciales. Bajo estas premisas y haciendo uso de consideraciones puramente geométricas se puede colegir que en un espacio de las fases de cómo mínimo tres dimensiones puede haber atractores dotados de sensibilidad a las condiciones iniciales. Dicho de otro modo, para que un sistema diná-mico no lineal pueda volverse caótico se re-quiere un mínimo de tres grados de libertad. A los atractores dotados de sensibilidad a la condiciones iniciales se les ha llamado atracto-res extraños.
Las trayectorias dinámicas de un atractor extra-ño llenan porciones del espacio de las fases sin cortarse nunca y dibujando figuras de hojas cada vez más apretadas a medida que las esca-las consideradas se hacen más pequeñas. Los atractores extraños son fractales. Un fractal es un objeto geométrico que si lo ampliamos muestra una serie repetitiva de detalles, de tal modo, que a diferentes escalas la estructura parece ser la misma. Este carácter fractal de los atractores extraños es una consecuencia dire-cta de las leyes que sigue la dinámica represen-tada en el espacio de las fases.
Uno de los primeros experimentos en poner de manifiesto este tipo de atractores se llevó a cabo en un sistema hidrodinámico: se calentó por la parte inferior una capa horizontal de silicona, apareciendo corrientes que se organi-zan en rodillos convectivo. Cuando la diferencia de temperatura llega a ser elevada en cada punto del fluido la temperatura se vuelve de-pendiente del tiempo de acuerdo con un régi-men caótico. Los atractores se ponen de mani-fiesto con ayuda de una técnica óptica no per-turbante.
Se ha ido aceptando la existencia de propieda-des emergentes que aparecen en los sistemas no lineales como resultado de la interacción entre sus partes, y que no pueden explicarse a partir de las propiedades de sus elementos constituyentes. Así una colonia de hormigas es capaz de llevar a cabo tareas de gran compleji-dad, pero cada hormiga individualmente es incapaz de realizar semejantes tareas. El com-portamiento social del hormiguero emerge a partir de las interacciones entre hormigas, y no se puede reducir a las propiedades de un solo individuo Lo mismo ocurre con el cerebro y las neuronas que lo forman, o con un ecosistema y las especies que lo forman. Estos sistemas complejos aparecen a medio camino entre el orden y el desorden. Por un lado, el orden es necesario para almacenar la información y
mantener la estabilidad de las estructuras; por otro lado, se precisa flexibilidad en la transmisión de información. A finales del siglo XX se propuso una hipótesis general acerca del origen de la compleji-dad: la hipótesis de la frontera del caos. Dicha hipótesis establece que la complejidad aparece en los puntos críticos en los que tienen lugar las transi-ciones de fase. Los sistemas complejos serían el resultado de una evolución hacia dichos puntos. En el trabajo publicado en Nature en 1996 por Ouyang y Flesselles se muestra que un sistema químico pasa de un comportamiento ordenado a caótico cuando se le aleja de su estado de equilibrio. Mues-tran experimentalmente la transición del orden al caos en el sistema conocido como reacción química de Belousov-Zhabotinsky.
ACERCA DE LA GEOMETRÍA FRACTAL
La aparición de la geometría fractal ha permitido el estudio de objetos fragmentados que presentan invarianza respecto al cambio de escala. Desde ese momento, es posible describir matemáticamente objetos o sistemas que se consideraban demasiado complejos: nubes, superficie de materiales, señales de un electrocardiograma o el movimiento brow-niano.
Los fractales son objetos matemáticos cuya princi-pal peculiaridad es el ser auto-similares, esto es, a cualquier escala se puede observar la misma es-tructura. Los fractales tienen, en consecuencia, una cantidad infinita de detalle: a medida que aumen-tamos la resolución obtenemos más detalles. Esta auto-similitud es infinita sólo en el caso de los fractales matemáticos. Los fractales naturales sólo presentan un número finito de niveles de auto-similitud. Además, aunque son parecidos no pose-en una semejanza totalmente exacta. Del principio de auto-similitud se desprende una consecuencia importante: la imposibilidad de medir el contorno de un fractal matemático. Su área es finita y puede calcularse, sin embargo su contorno no.
De forma general, podemos caracterizar los fracta-les mediante las siguientes propiedades:
 Tienen una estructura compleja a cualquier resolución
 Tienen una dimensión no entera
 Tienen perímetro de longitud infinita pero un área limitada
Se dice que un punto tiene dimensión 0, una línea dimensión 1, una superficie dimensión 2, y un volumen dimensión 3. Una curva fractal que reco-rre una superficie puede ser tan irregular que casi llene la superficie en la que se encuentra. Podemos imaginarnos, pues, que la irregularidad del fractal conduce a un aumento de su dimensión: una curva fractal tiene una dimensión comprendida entre 1 y 2, y una superficie fractal la tiene entre 2 y 3. Así pues, la dimensión de los fractales, al contrario de los que ocurre en la geometría euclidiana, no es entera.

Un fractal auto-similar se obtiene aplicando un número determinado de transformaciones similares a un conjunto compacto no vacío, y repitiendo infinitas veces el proceso sobre la unión del objeto original y el resultado de la iteración precedente. La secuencia de conjun-tos generados converge hacia un único con-junto compacto no vacío. A este conjunto límite se le denomina conjunto atractor inva-riante y es independiente del conjunto inicial.
La curva de Koch fue una de las primeras curvas fractales en ser descrita. Más conocida aún que ésta es el copo de nieve de Koch, similar a la curva excepto que comienza a partir de un triángulo en lugar de un segmen-to. La curva de Koch se realiza mediante adiciones progresivas a un simple segmento de línea. La adiciones se efectúan dividiendo la línea en nuevos segmentos de un tercio de longitud, y luego substituyendo el segmento central por dos segmentos que, junto con el suprimido, formarán el triángulo equilátero. La repetición de este procedimiento sobre los segmentos resultantes infinitas veces condu-ce a la curva de Koch.
El objetivo final que hay tras la geometría fractal es la matematización de las formas que aparecen en la naturaleza que van más allá de la geometría euclídea. Un ejemplo típico lo tenemos en el estudio de un perfil de costa. Desde el punto de vista topológico tiene dimensión 1, en cambio, su dimensión fractal difiere de unas costas a otras. Desde 1980, las revistas científicas de diversas áreas de conocimiento han publicado centenares de artículos sobre la dimensión fractal. Otras veces se ha podido incluso correlacionar la dimensión fractal con las leyes físicas de un fenómeno. Ejemplos que se pueden citar son: las líneas de fractura de una lámina, la irregu-laridad de las macromoléculas en disolución, la permeabilidad de un medio poroso en función de las dimensiones de sus poros, o la distribución de galaxias en el Universo.
ESTUDIOS DE FRACTALES NATURALES.
Ciertos sistemas naturales poseen un número finito de grados de autosimilitud, y pueden ser considerados como fractales naturales. Partiendo de estas consideraciones, la geo-metría fractal ha ayudado enormemente a explicar diversos sistemas naturales tales como el curso de los ríos, la formación de nubes, plantas (cloliflor, romanesco, conífe-ras, sauces), las cordilleras, la evolución de las galaxias, el crecimiento poblacional, el funcionamiento de los huracanes, la redes nerviosas, redes de vasos sanguíneos, con-ductos biliares, árbol bronquial, etc. Todos estos sistemas de la naturaleza se pueden describir por un modelo matemático fractal que se aproxima satisfactoriamente al siste-
ma real. Se ha de indicar que la geometría fractal se expresa por medio de elaborados algoritmos, esto es, de reglas e instrucciones de procedimiento complicados que requieren la ayuda del ordenador para convertirse en for-mas y estructuras.
Es de destacar el estudio de West y Goldberger, quienes propusieron la utilización de un mode-lo fractal de los bronquíolos cuya característica más notable es la incorporación de múltiples escalas. Utilizando el método fractal y métodos de cálculo del grupo de renormalización llega-ron a alcanzar muy buen ajuste con los resulta-dos experimentales. El modelo, además, mues-tra una mejores condiciones de adaptabilidad a la hora de afrontar condiciones cambiantes.
Uno de los estudios de dimensión fractal que ha tenido mayor impacto ha sido el de la es-tructura terciaria de las proteínas (modo en que se organizan en el espacio las cadenas polipeptídicas). Gracias a los rayos X se han descubierto en la estructura terciaria de las proteínas distintos tipos de conformación. Por una parte, esta estructura terciaria es muy compleja, y por otra, es necesario obtener un método cuantitativo que permita obtener información de las conformaciones proteicas. Aquí la metodología fractal ha desempeñado un papel muy importante, ya que proporciona métodos cuantitativos para extraer una regula-ridad tras formas aparentemente irregulares. De hecho, merced a la aplicación de esta meto-dología se han podido obtener dimensiones fractales de las estructuras terciarias de distin-tas proteínas.

BIBLIOGRAFÍA
Borondo, F. (2000). Caos: un paradigma multi-disciplinar. Seminario multidisciplinar sobre la teoría del caos y sistemas complejos, Madrid. www.encuentros-multidisciplinares.orgDubois, M. et al. (1987). El orden caótico. Mun-do científico, 68, 428-439.González, R. (1996). Física para juristas, econo-mistas y demás gente curiosa. Barcelona: Gri-jalbo Mondadori.Jou, D. & Llebot, J. E. (1989). Introducción a la termodinámica de procesos biológi-cos.Barcelona: Labor.Ortuño, M. (1996). Física para biología, medici-na, veterinaria y farmacia. Barcelona: Grijalbo Mondadori.Ouyang, Q. & Flesselles, J. M. (1996). Transition from spirals to defect turbulence driven by a convective instability. Nature, 379, 143-146.Rañada, A. F. (1986). Movimiento caótico. Investigación y ciencia, Marzo, 12-23.Sanjuán, M. A. F. y Casado , J. M. (2005). Diná-mica no lineal: Orígenes y futuro. RUISF, 23-30.Simó, C. (1991). Cómo entender el caos deter-minista. Mundo científico, 115, 698-704.Solé, R. V. et al.(1996). Complejidad en la fron-tera del caos. Investigación y ciencia, Mayo, 14-20.Solé, R. V. et al. (2001). Orden y caos en siste-mas complejos. Fundamentos. Barcelona: Edicions UPC.
Joan Josep Solaz-Portolés es Doctor en Ciencias Químicas (Programa Didáctica de las Ciencias Experimentales) por la Universitat de València, España. Actualmente es Profesor Asociado en el Departamento de Didáctica de las Ciencias Experi-mentales y Sociales de la Universitat de València. Ha publicado más de cincuenta y cinco artículos en revistas indexadas (algunas en el SCI y SSCI, la mayoría en Latindex) de educación, ciencia y educación científica en doce países, así como tres libros en las mismas áreas de conocimiento. Miembro del consejo editorial de las revistas Avances en ciencias e ingeniería (Chile), Educación Química (México) y Caderno Brasileiro de Ensino de Física (Brasil).
subir

Contacto

Consejo Nacional para el Entendimiento Público de la Ciencia
Centenario del natalicio del Ing. Guillermo González Camarena