COMPRENDAMOS

Introducción: Sistemas Complejos

De acuerdo a (Moriello, 2010) ya (Gersenshon, 2000), los Sistemas Complejos (SC) se encuentran frecuentemente en la naturaleza, tienen la característica de estar formados por muchos elementos, los cuales interactúan entre sí; mientras más elementos será más complejo el sistema. Un SC está compuesto por varias partes interconectadas o entrelazadas cuyos vínculos contienen información adicional y oculta al observador. Como resultado de las interacciones entre elementos, surgen propiedades nuevas que no pueden explicarse a partir de las propiedades de los elementos aislados; mientras se le agreguen más elementos, se incrementará la complejidad del sistema.

En la naturaleza se pueden encontrar diversos SC, uno de ellos es una cascada formada por millones de gotas de agua; cada una de ellas es una célula independiente, pero que al interrelacionarse con otras gotas forman un torrente considerado Sistema Complejo. Vér figura 1.

Figura 1. Una cascada como Sistema Complejo

Un caso muy estudiado como SC por (Nagel, 1995) es el comportamiento del tránsito vehicular de una ciudad (ver figura 2.). Cada auto es una célula del SC, uno solo no crea tránsito vehicular en una avenida, pero un conjunto de autos (células) si lo hacen, creando un SC.

Figura 2. Tránsito Vehicular Como Sistema Complejo

Otros ejemplos de SC son el tráfico de trenes del Sistema de Transporte Colectivo “Metro”. En este caso siempre trata de garantizarse una perfecta sincronía en el tráfico de trenes de cada línea, esto con el fin de evitar demoras y agilizar los transbordos entre correspondencias de una línea a otra. Sin embargo, si se agrega una nueva línea, la complejidad del sistema aumenta de manera considerable porqué hay nuevas propiedades de sincronía; esto es, hay mas unidades, mas estaciones que se traducen en nuevas dinámicas, mas variables y una mayor correlación; un tren bloqueado en una estación afecta a todo el sistema.

Más ejemplos de SC son los sistemas de transmisión y distribución de energía eléctrica de la Comisión Federal de Electricidad. La red eléctrica nacional (transmisión y distribución) abarca gran parte del país donde cada elemento es sumamente importante y dependiente; siempre se podrá encontrar un camino desde una lámpara en nuestra casa hasta una estación generadora, por eso se llama Sistema Interconectado Nacional. La red es tan amplia y tan compleja que el suministro y calidad de la energía eléctrica depende de diversos factores que incluyen la calidad de generación, los disturbios en la transmisión el clima e incluso una soldadora en la casa de junto. Una falla en una estación de generación, en una subestación o un corto circuito afecta inmediatamente a los elementos contiguos del sistema y si además de esto se agregan nuevos elementos el sistema se hace más complejo. Ver figura 4.

Figura 4. El Sistema Eléctrico Nacional como Sistema Complejo

Como se puede observar en los ejemplos anteriores, las propiedades de un SC son el resultado de las interacciones entre sus elementos se llaman emergentes; esto quiere decir que los elementos por si solos pueden no tener un comportamiento, pero en conjunto forman un sistema dinámico con entradas y salidas variantes. El todo es más que la suma de las partes: esta es la llamada concepción holística. Esto es, la información contenida en el sistema en conjunto es superior a la suma de la información de cada parte analizada individualmente. Aunado a esto y debido a su enorme complejidad, la propiedad fundamental que los caracteriza es que poseen un comportamiento impredecible. Se puede predecir su evolución hasta ciertos límites, siempre estimando un error creciente con el tiempo.

Para el estudio de los SC, según (Baddi, 1999) y (Mancilla, 2000) se han utilizado diversas técnicas: métodos matemáticos como estadística, probabilidad, ecuaciones diferenciales y métodos numéricos, sin embargo, debido a la enorme cantidad de variables internas de estos sistemas, estas técnicas quedaban superadas muy rápidamente y los resultados eran poco satisfactorios. Debido a los pocos resultados obtenidos con estas técnicas, se empezaron a desarrollar nuevos métodos como: Caos, agentes, lógica difusa, redes neuronales y como se indica en el título de este trabajo: Autómatas Celulares (AC).

Autómatas Celulares

Para modelar muchos SC en los cuales no es conveniente aplicar técnicas matemáticas, por ejemplo los sistemas químicos, biológicos, evolutivos, genéticos, eléctricos y computacionales quedan tres opciones:

• Lograr un modelo de naturaleza continua (en aquellos sistemas que sean analógicos),
• Utilizar métodos aproximados de discretización (el cual tiene algunos problemas de digitalización),
• Modelar utilizando un Autómata Celular.

De acuerdo a (Wolfran, 1990) y a (Sipper, 1997), Un Autómata Celular (AC) es un sistema dinámico discreto que está formado por un conjunto de celdas (o células) que tienen un comportamiento aleatorio dentro de una dimensión dada. Estos sistemas se encuentran en un espacio discreto y el tiempo en el que se desenvuelven y evoluciona también es discreto. Las células que componen el autómata interactúan con sus vecinos en función de las reglas de transición que tengan predispuestas.

Los AC están formados por 3 partes:

1. Una lattice discreta (L). Es el arreglo de celdas que tiene el sistema,
   
2. Una vecindad (r). Son las celdas que se encuentran junto a la celda-estado. De las vecindades depende la forma en como se comportará y como irá evolucionando el autómata a través del tiempo,
3. Las reglas de transición (f). Son funciones de transición local como puede ser: la función de transición celda-estado, o una tabla de transición de la celda-estado. Una función f que puede ser descrita por una fórmula o por reglas de transiciones de la forma u(x)k → xk+1, o simplemente por una tabla de transiciones de celda-estado donde k describe el intervalo de evolución del AC.

En (Moron, 2007) se presenta un ejemplo de AC con una lattice de 2 dimensiones (2D) con 50 celdas, 70 evoluciones y r=4 y una función de transición c0 considerando la “Regla 30” se muestra en la fig. 3 junto con un caparazón de caracol marino de la especie Conus Textile.

Figura 5. a) Autómata Celular con 50 celdas y 70 evoluciones bajo la “Regla 30” b) Caracol marino Conus Textile con un caparazón con dibujo similar a un AC

Las función de transición para éste ejemplo es la regla 30 que se muestra en la tabla 1.

Tabla 1. Función de transición, regla 30, utilizada para generar el autómata celular de la Figura 5.

IV.Conclusiones

Los Sistemas Complejos (SC) se encuentran frecuentemente en la naturaleza y en nuestra vid diaria, tienen la característica de estar formados por muchos elementos, los cuales interactúan entre sí; mientras más elementos será más complejo el sistema. Un SC está compuesto por varias partes interconectadas o entrelazadas cuyos vínculos contienen información adicional y oculta al observador.

Para modelar muchos SC en los cuales no es conveniente aplicar técnicas matemáticas, por ejemplo los sistemas químicos, biológicos, evolutivos, genéticos, eléctricos y computacionales. Un técnica de modelado son los Autómatas Celulares (AC). Un AC es un sistema dinámico discreto que está formado por un conjunto de celdas (o células) que tienen un comportamiento aleatorio dentro de una dimensión dada. Los AC representan comportamientos complejos determinísticos, los resultados de las simulaciones bajo las mismas condiciones iniciales, reglas de evolución y número de celdas para n experimentos serán los mismos. Las ventajas obtenidas al modelar SC con AC son principalmente el evitar el uso de ecuaciones diferenciales no lineales donde es necesario hacer estudios de estabilidad y convergencia que finalmente darían lugar a algoritmos que no podrían computarse.