COMPRENDAMOS

Caos, si, el mismo caos que tu supones... ese comportamiento apararentemente impredecible que encontramos todos los días en muchos lugares; por ejemplo, el desorden de un tráfico embotellado en la avenida, el crecimiento desmesurado de la población, el fluir de un río agitado y tantos fenómenos que no logramos entender ya que es casi imposible saber cómo se comportarán en el futuro. Claro, es importante saber como seguirá creciendo la población humana o cómo las plagas se dispersan para saber de que forma controlar su desarrollo. Al hombre de negocios le interesa saber la manera en la que se comporta la economía ya que, regularmente, no sabe con certeza como se desenvolverá la economía en la semana siguiente. Y ni hablar del desarrollo del clima, tan importante para la agricultura, la navegación marina y aérea, los deportes o hasta para tener un buen día de paseo por el campo. Es dificil pronosticar el clima para tiempos relativamente cortos.

Pero, ¿Cuál es la causa de que el caos sea tan complicado de entender? Es claro que todo evento tiene una causa que lo generó. Digamos por ejemplo que el fluir de la marea se debe al periódico transitar de la Luna al rededor de la Tierra, la causa es muy bien conocida. Por tanto, conocemos a las mareas como un evento "predecible", la gente del mar sabe cuando volverá a subir la marea. El caso del clima es completamente diferente, el clima que tendrá el día de mañana el estado de Michoacán depende de much¡simos factores: temperatura, altitud, velocidad de los vientos, humedad del aire y miles de factores que se nos escapan al analizar el fenómeno soméramente. Es mas, ni el más aventurado meteorólogo se atreve a dar pronósticos para dentro de tres o dos días al menos. A este comportamiento los conocemos como "caotico". Un adjetivo que habla claramente del comportamiento del fenómeno.

Intenta hacer un pequeño experimento para que notes como el caos aparece por todos lados. Toma una pelota y colócala sobre el suelo. Dale un leve puntap¡é y mira cuidadosamente por donde se va la pelota y donde termina por detenerse. Ahora, vuelve a colocar la pelota en el mismo lugar y vuelve a golpearla con la misma fuerza y hacia la misma dirección. ¿Qué paso? ¿Realizó el mismo recorrido y se detuvo en el mismo lugar que la vez anterior? ¡Pero si tu lo repetiste exactamente igual que la primera vez!. Los f¡sicos y los matemáticos dicen que el caos es sensible a las condiciones iniciales. Existen pequeñísimos factores que no percibimos y que hacen que las cosas no salgan como queremos. Cuando lanzamos la pelota por primera vez existian condiciones iniciales contándolas como la posición de la pelota y la fuerza de la patada inicial, la rugosidad del piso, etc., que hicieron que la bola haya llegado a donde llegó por primera vez. Y para el segundo intento ¿tuvimos la curiosidad de esperar que la fuerza del aire fuera la misma sobre la pelota y nos aseguramos que el pequeño taponsito del aire estubiera en la misma posición? Pues... no, ¿verdad? Esos pequeños factores afectaron a la pelota poco a poco hasta que el error fue creciendo y creciendo hasta que, finalmente, la pelota terminó por llegar a otro lugar radicalmente diferente, un lugar que ni siquiera esperabamos. Y si lo repetimos una y otra vez... lo mismo ocurre. Te das cuenta qué dificil es pronosticar el siguiente tiro.

¿Se te hace familiar este comportamiento? Es la misma causa por la que un futbolista sigue fallando penales (que ni lo sepan los jugadores de la selección mexicana, luego con esto se justificarian), la de un biólogo que ve que la población de bacterias a veces crece y disminuye sin control. Los cálculos realizados por las computadoras no se escapan del caos. Las computadoras realizan millones de operaciones y dependen de los datos que se le introduzcan inicialmente. Si alguien agrega algún valor ligeramente distinto y repite los cálculos verá con toda la seguridad que la computadora obtendrá un valor completamente distinto al que esperaba. Pregúntale a un contador si esto no es cierto. Ellos tambien se han topado con el caos en alguna ocasión. ¡Y qué sustos les ha pegado!

No importa lo pequeño del error de las condiciones iniciales, el error se acumula rápidamente en unos cuantos pasos y las predicciones no resultan como las esperabamos. La predectivilidad se rompe tarde o temprano. Es como si no tomaramos en cuenta el aletear de una mariposa que se encuentre en este momento volando en Argentina en nuestra predicción del tiempo de Michoacán para dentro de dos semanas y fallemos al encontrarnos que ocurrio una tormenta que no habiamos previsto por el simple hecho de no tomar en cuenta el aletear de aquella mariposa. Vemos que es sensible a las condiciones iniciales, esto es llamdo como "el efecto mariposa". Nos damos cuenta que el caos es mas bien la regla en la naturaleza y el orden (predictivilidad) es la escepción de la misma

El Caos se ha estado estudiando ampliamente, aún varios cient¡ficos discrepan sobre el término "Caos", algunos lo aplican al estudio de sistemas complejos y otros llaman a esta nueva disciplina como la Teoría de los Sistemas Complejos, Teoría de la Complejidad o Teoría de los Sistemas Dinámicos. Los cuales podr¡an tener una mejor descripción de esta.

La Teoría del Caos y sus herramientas asociadas han tenido un gran desarrollo en las tres mayores áreas de la ciencia, y estas incluyen claramente a:

    A las Matemáticas, con el uso de los fractales y de los atractores extraños, autómatas celulares y modelos matemáticos de la complejiadad que se pensaba era creada por el azar.
    Biología, con la identificación de procesos revolucionarios para entender la genética, simulaciones de vida artificial, la comprensión de sistemas, incluyendo al cerebro en áreas que hasta ahora eran poco investigadas como la conciencia y la mente.
    Fsica, con termodinámica y turbulencias, en la física cuántica, etc.

La Teoria de Caos podría caer en la mala idea de sobrestimarla demasiado relacionándola con cualquier cosa que pueda ser relacioanada superficialmente con la idea de caos. Desafortunadamente, la popularización de esta teoría a través de los medios masivos de comunicación podría contribuir en este peligro, pero a la vez, esta popularización es muy importante para presentar nuevas áreas de las matemáticas y mostrar que las matemáticas estan vivas y son tan importantes como siempre lo han sido.
EL CAOS DE PRONTO SE MANIFIESTA DE FORMA INESPERADA

Algunos matemáticos que se ocupaban en problemas muy diversos se toparon con algo difícil de imaginar. Caos y Orden habian sido vistos como antagónicos por la ciencia. La naturaleza era ordenada y el caos nada tenía que ver, por que en ella las leyes no eran obedecidas.

El estudio del caos se inicio de lleno en nuestra época, la época de las computadoras permitiendo a los científicos manejar grandes cantidades de información y modelar la naturaleza. Comprender fenómenos como las turbulencias, problemas cardiacos, inestabilidad en los rayos laser, la dinámica de la poblaci¢n, órbitas de naves espaciales, anomalías cerebrales... dentro de los problemas anteriores se hizo claro que el caos, por extraño que parezca, sigue ciertos patrones muy estables.

Pero ¿porqué la teoría de Caos es tan fascinate? ¿por qué se supone que cambiará la vision que tenemos de nuestro mundo? Por la razón que estos conceptos nos ayudaran a comprender mejor la filosofía de la naturaleza. Veamos entonces donde radica su fascinacion...

FRACTALES, La Geometria de la Naturaleza.
Hasta ahora te has encontrado sin darte cuenta con much¡simos fractales en el transcurso de tu vida y hasta te los has comido sin percatarte. Un fractal es una figura la cual esta compuesta por pequeñas partes las cuales son iguales a la figura original. Pero, más despacio ¿como es esto? Bien ¿recuerdas la forma de un brócoli o de una coliflor? ¿Te has dado cuenta que cuando le quitas un pequeño bracito a estos vegetales el trozo que te queda es igual a la verdura original? ­ ¡ Y asi sucesivamente !, cada parte, por más pequeña que ésta sea es igual a la figura de donde la quitaste. Es por esto que se dice que los fractales tienen similitud propia.

No solamente los brócolis y las coliflores son fractales que nos encontramos en la naturalezas; tambien muchas plantas, estas tienen ramas iguales a la planta entera. Los ríos y las costas tambien lo son, si los ves en un mapa las costas se ven rugosas al igual que cuando tu estas a una orilla de ellas. El ruido también parece ser un fractal, ¿pero si el sonido no es una figura geométrica?. El ruido casi imperceptible que se escucha en el fondo de una cinta magnetofónica es siempre el mismo si la cinta corre en el aparato de sonido a velocidad normal, si lo hace a mayor o menor velocidad o si la cinta corre de atras hacia adelante. En estudios de la Tierra se ha encontrado la relación que tienen las nubes con las montañas. Los cristales creados por minerales, los copos de nieve, el sistema de venas y arterias de los seres vivos, los ríos y montañas, los campos magnéticos de los imanes, platas y animales y una gama increible de fenómenos naturales y sociales se han encontrado patrones fractales. Fascinante.

Existen millones de fractales en la naturaleza con estas características tan singulares, pero eso no es todo, tienen propiedades aún más impresionantes. Con los fractales se introdujo el concepto de la DIMENSION FRACCIONARIA, esto significa que los fractales tienen dimensiones no representados con un número entero. Así se dice que cada fractal tiene su propia dimensión, por ejemplo dim=0.2134, 2.3434..., 4/5 etc. Los fractales matemáticamante tienen un cualidad geométrica muy curiosa: llegan a tener una area finita rodeada de un perímetro infinito. ¿Qué significa esto?. Por ejemplo, el área de un cuadrado es de todos bien conocida, y su perímetro es igual a cuatro veces lo que mida un lado, esto quiere decir que tiene área y perímetro finitos. En un fractal solo su área es finita y su perímetro es infinito ya que es de forma rugosa, y cada vez que veamos más de cerca su perímetro o su orilla seguirá siendo mas rugosa y mas rugosa sin importar qué tan pequeña sea la porción de su orilla que amplifiquemos. La construcción fractal llamada Curva de Koch ilustra claramente lo anterior.

La base de la contrucción de los fractales es la "retroalimentación". Esta se basa en dar una información inicial, procesarla de alguna forma obteniendo un resultado. Y después, con ese resultado, volverlo a procesar y obtener otro resultado y seguir haciendo esto indefinidamente con cada resultado obtenido. ¿Qué crees obtener de este desorden? Un claro ejemplo será el de una copiadora. Esta copiadora deforma todo lo que sea fotocopiado, digamos que a una foto, al copiarla, obtenemos como resultado una copia muy singular: una imagen final deformada, nos damos cuenta que la redujo y, además, aparecieron varias fotos más pequeñas que el original, ¿pero qué pasará si pasamos por la copiadora esta copia deformada? Es claro que aparecer  otra cosa extraña, ¿y si continuamos con el proceso indefinidamente?, bueno, pues nos toparemos con una imagen final que si la deformamos nuevamente obtendremos esa misma figura extraña. Y sin importar cuantas veces volvamos a pasar esa figura extraña siempre obtendremos esa figura igualita de extraña. Y además no importa cual sea la imagen original. Nosotros usamos una foto, pero puedes poner una palabra,un triangulo o un circulo despues del proceso indefinido obtendremos esa figura curiosa. Esto es llamado un ATRACTOR, por que al parecer todo este proceso tiende a formar esta figura. ­Y como ya te imaginarás, ¡ el atractor tiene propiedades fractales!.

Existen miles de procedimientos para generar un fractal o para estudiar alguno ya creado por la naturaleza o artificialmente, procesos caóticos y sin orden aparente tienden a formar un atractor, un fractal. Algunos son solo generados por computadoras basadas en un algoritmo matemático. Las condiciones iniciales son tomadas por el sistema y el resultado del sistema es un resultado nuevo y este nuevamente es evaluado. En la biología, por ejemplo, una población de animalitos tienen cierto alimento, se reproducen y mueren por varias causas haciendo que la población varie con el tiempo, después de un instante de tiempo, la cantidad de agua, comida y los factores cambiaron y provocaron que la población variara. Bien, pues ahora éstas son las nuevas condiciones que tiene el sistema y su comportaminto será otro y después de otro lapso de tiempo variará nuevamente. Pues nos es dificil pronosticar el sistema para en futuro mas alejado, quién sabe como será. ¿Existirá un atractor dentro de este caos aparente? ¿Cuales serán los atractores del desorden encontrado en muchos fenómenos naturales y sociales?

Las aplicaciones de modelos matemáticos basados en los fractales y otras herramientas matemáticas asociadas con el caos abren nuevos caminos, en la ciencia y la tecnología: computadoras, sistemas de correción y compresión de información, optimización de recursos, modelado geológico y geográfico, desarrollo de poblaciones, configuraciones galácticas, matemáticas, metereología, probabilidad y estadística, medicina, reacciones químicas, tráfico, dinámica de la economía, juegos de azar, fluidos, formaciones planetarias, etc... En Michoacán, en base a investigaciones del Intituto de Física y Matemáticas de la Universidad Michoacana se han estudiado las características fractales de la cadena de ADN, la base de la vida en nuestro planeta. Todo lo anterior permitirá estudios revolucionarios basados en la Teoría de la Complejidad, la Teoría del Caos.

Sería interminable mencionar la enorme variedad de fractales y atractores y la manera de generarlos y estudiarlos. Hasta ahora han dado un giro a la percepción que se tenía de la naturaleza y han dado nuevas herramientas a la ciencia, la tecnología y a las ciencias sociales para entender fenómenos donde el azar y la confusión aparente dominaban. Las hermosas e impresionantes figuras fractales estudiadas por las matemáticas aún nos sorprenden con la información que nos proporcionan para entender la filosofía de la naturaleza. La extraña belleza de nuestro mundo radica en su naturaleza. Es una nueva frontera de la ciencia, el estudio del caos abre una nueva disiplina en la ciencia. La Teoría de Caos muestra que las matemáticas estan vivas y siguen siendo tan importantes como siempre.